Цікаві факти про математику

Діофантові рівняння — невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами, в яких невідомі змінні можуть набувати тільки цілих значень. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта александрійського.

Діофантовим рівнянням 1-го ступеня (лінійним) з

n

невідомими називається рівняння вигляду

(a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=b)

, де всі коефіцієнти і невідомі — цілі числа і хоча б одне

a_i\ne0

Розв'язком діофантового рівняння буде n цілих чисел

(x_1^\prime,x_2^\prime,\ldots,x_n^\prime)

, що задовольняє

a_1x_1^\prime+a_2x_2^\prime+\ldots+a_nx_n^\prime = b)

Теорема 1 Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими

ax+by=c

можна розв'язати в цілих числах тоді й тільки тоді, коли число

c

ділиться націло на НСД(а, b)

Теорема 2 Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими

ax+by=c

можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли НСД(а, b) =1, НСД(а, b, с)=1, тобто, цілі числа а та b — взаємно прості, (не мають спільного дільника, крім 1).

Зміст

Історія

Рівняння вигляду P(x, y,…,z)=0, де P(x, y,…,z)=0 многочлен декількох змінних із цілими коефіцієнтами, для яких потрібно знайти цілі розв'язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім'ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н. е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач із цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв'язків.

Розв'язати діофантове рівняння означає:

a) з'ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв'язок у цілих числах;
b) якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, то з'ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв'язків;
c) знайти всі цілі розв'язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв'язувати ще до Діофанта. Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має розв'язок

(x_0,y_0)

, то йому буде задовольняти нескінченна множина пар (x, y) виду

x=x_0+bk \,\,\, y=y_0-bk

, де k — будь яке ціле число.

Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв'язання деяких рівнянь другого степеня вигляду ax²+bxy+cy²=dz² . Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел x, y, z, що задовольняють рівнянню x²+y²=z² . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами x=m²-n², y=2mn, z=m²+n² , m, n — натуральні числа, n>m.
У 20-х роках ХХ сторіччя англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння вищого степеня, ніж третій, можуть мати лише скінчену кількість цілих розв'язків. Цю гіпотезу було доведено голландським математиком Фалтінгсом 1983 року^{[Джерело?]}.

Особливе місце серед діофантових рівнянь посідає рівняння

x^n+y^n=z^n

, де n — натуральне число. Французький математик П'єр Ферма стверджував, що для n>2 це рівняння не має розв'язків у натуральних числах. Однак довести це твердження, яке назвали Великою теоремою Ферма, виявилося не так просто.

Діофантові рівняння першого степеня

Рівняння виду ax+by=c, де a, b, c — числа, а x, y- змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв'язання рівняння застосовують наступні теореми.

Теорема1. Якщо a i b — взаємно прості числа, то для будь якого цілого c, рівняння має хоча б один розв'язок у цілих числах.
Теорема2. Якщо a i b мають спільний натуральний дільник d<>1 , а ціле число c не ділиться на d, то рівняння ax+by=c не має розв'язків в цілих числах.
Теорема3. Якщо a i b — взаємно прості числа, то рівняння ax+by=c має нескінченну кількість розв'язків, які знаходять за формулами $x=x_0+bk \,\,\, y=y_0-bk$ , де $(x_0,y_0)$ — будь-який цілий розв'язок цього рівняння, k є Z.

Частинний розв'язок

(x_0,y_0)

для малих a i b можна знайти підбором, а у випадку, коли числа a i b великі, скористувавшись наступною теоремою:

Теорема4. НСД(a, b)=d може бути записаний у вигляді d=am+bn, де m, n — цілі числа.

Приклади

Лінійне рівняння:

a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=a

Це рівняння має розв'язок тоді й лише тоді коли найбільший спільний дільник

(a_1,a_2,\ldots,a_n)

ділить a.

Рівняння Безу

ax + by = d

Має розв'язок тоді і тільки тоді коли d = НСД(a, b).

:
- При $n=2$ розв'язками рівняння будуть піфагорові трійки
- Велика теорема Ферма стверджує, що рівняння не має розв'язків для $n>2$ .
$x^2 - n y^2 = 1$ , де n не є точним квадратом — рівняння Пелля
$x^z - y^t = 1$ , де $z,t>1$ , — рівняння Каталана
$\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c$ для $n\ge 3$ і $c\ne 0$ — рівняння Туе

Нерозв'язність у загальному вигляді

Десята проблема Гільберта, сформульована 1900 року, полягає пошуку алгоритму для розв'зання довільних алгебраїчних діофантових рівнянь. 1970 рокуЮрій Матіясевіч довів алгоритмічну нерозв'язність цієї проблеми^[1].

Цікаві факти про математику

среда, 7 октября 2015 г.

"Діофантові рівняння"

Зміст

Історія

Діофантові рівняння першого степеня

Приклади

Нерозв'язність у загальному вигляді

Ще декілька цікавинок

среда, 7 октября 2015 г.

"Діофантові рівняння"

Зміст

Історія

Діофантові рівняння першого степеня

Приклади

Нерозв'язність у загальному вигляді

Ще декілька цікавинок

среда, 7 октября 2015 г.